微积分学示例

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + x^{10}$ 。然后使 $d u = 10 x^{9} d x$ ，以便 $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + x^{10}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x^{10}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{10}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 10$ 。

$0 + 10 x^{9}$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $10 x^{9}$ 相加。

$10 x^{9}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + x^{10}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + x^{10}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{9}$ 和 $\frac{1}{10}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{10}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{10}$ 移到积分外。

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{9}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{10} u^{10}$ 。

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{10} u^{10}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $2$ 进行 $10$ 次方运算。

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{10}$ 和 $1024$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

解题步骤 5.2.3

约去 $1024$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $1024$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

解题步骤 5.2.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

解题步骤 5.2.6

要将 $\frac{512}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

解题步骤 5.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $10$ 的形式。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $\frac{512}{5}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

解题步骤 5.2.7.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

解题步骤 5.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

解题步骤 5.2.9

化简分子。

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解题步骤 5.2.9.1

将 $512$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

解题步骤 5.2.9.2

从 $1024$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

解题步骤 5.2.10

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{1023}{10}$ 。

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

解题步骤 5.2.11

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1023}{100}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1023}{100}$

小数形式：

$10.23$

带分数形式：

$10 \frac{23}{100}$

解题步骤 7

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