微积分学示例

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

解题步骤 2

使 $u = x^{2} - 3$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = x^{2} - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{2} - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $u^{7}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ 重写为 $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

解题步骤 8

使用 $x^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$

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