微积分学示例

$\int 4 {(4 x + 3)}^{4} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int {(4 x + 3)}^{4} d x$

解题步骤 2

使 $u = 4 x + 3$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 4 x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 3

组合 $u^{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$4 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

解题步骤 5.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$1 \int u^{4} d u$

解题步骤 5.3

将 $\int u^{4} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{4} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

解题步骤 7

使用 $4 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{5} {(4 x + 3)}^{5} + C$

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