微积分学示例

$\int_{- 1}^{2} (x - 8 | x |) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 1}^{2} x - 8 | x | d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

解题步骤 4

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 \int_{- 1}^{2} | x | d x$

解题步骤 5

根据 $x$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $2$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

解题步骤 10.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4

化简。

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解题步骤 10.2.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.6

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.7

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.9

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.9.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.9.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.10

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.11.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.13

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (- - \frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.16

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.17.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.17.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.18

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{2})$

解题步骤 10.2.4.19

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.19.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 (0)}{2})$

解题步骤 10.2.4.19.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.19.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 10.2.4.19.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

解题步骤 10.2.4.19.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{1})$

解题步骤 10.2.4.19.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - 0)$

解题步骤 10.2.4.20

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 + 0)$

解题步骤 10.2.4.21

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2)$

解题步骤 10.2.4.22

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 10.2.4.23

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

解题步骤 10.2.4.24

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.25

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.25.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 4}{2}$

解题步骤 10.2.4.25.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{5}{2})$

解题步骤 10.2.4.26

组合 $- 8$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{- 8 \cdot 5}{2}$

解题步骤 10.2.4.27

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{- 40}{2}$

解题步骤 10.2.4.28

约去 $- 40$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.28.1

从 $- 40$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2}$

解题步骤 10.2.4.28.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.28.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 (1)}$

解题步骤 10.2.4.28.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.2.4.28.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{2} + \frac{- 20}{1}$

解题步骤 10.2.4.28.2.4

用 $- 20$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{2} - 20$

解题步骤 10.2.4.29

要将 $- 20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 10.2.4.30

组合 $- 20$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.31

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 20 \cdot 2}{2}$

解题步骤 10.2.4.32

化简分子。

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解题步骤 10.2.4.32.1

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 - 40}{2}$

解题步骤 10.2.4.32.2

从 $3$ 中减去 $40$ 。

$\frac{- 37}{2}$

解题步骤 10.2.4.33

将负号移到分数的前面。

$- \frac{37}{2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{37}{2}$

小数形式：

$- 18.5$

带分数形式：

$- 18 \frac{1}{2}$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例