微积分学示例

$\int \frac{\ln (5 x)}{x} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \ln (5 x)$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \ln (5 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (5 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

化简项。

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解题步骤 1.1.3.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5 x}$ 。

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 2

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 3

使用 $\ln (5 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln^{2} (5 x) + C$

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