微积分学示例

$\int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \ln (x) x^{- 4} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = x^{- 4}$ 。

$\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x$

解题步骤 3.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

解题步骤 5.2

将 $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$ 重写为 $- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}}) + C$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{x^{3} \cdot 3}) + C$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 \cdot x^{3}}) + C$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{3 (3 x^{3})} + C$

解题步骤 9.2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}} + C$

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