微积分学示例

$f (x) = e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x^{2} + 3$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.1.3

使用 $7 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $7 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)$

解题步骤 1.2.6

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$ 的因式。

$14 e^{7 x^{2} + 3} x$

解题步骤 1.3.2

将 $14 e^{7 x^{2} + 3} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 14 x e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 x e^{7 x^{2} + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

$14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ 。

$14 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x^{2} + 3$ 。

$14 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$14 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $7 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $7 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.6

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$14 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8.2

将 $14$ 移到 $e^{7 x^{2} + 3}$ 的左侧。

$14 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $e^{7 x^{2} + 3}$ 乘以 $1$ 。

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 2.11.2

将 $14$ 乘以 $14$ 。

$196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 2.11.3

重新排序项。

$196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 2.11.4

将 $196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $196$ 对于 $x$ 是常数，所以 $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

$196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ 。

$196 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $7 x^{2} + 3$ 。

$196 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$196 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $7 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.4

根据加法法则， $7 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.9

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.10

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.11.1

移动 $x$ 。

$196 (x \cdot x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$196 (x^{1} x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$196 (x^{1 + 2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.11.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$196 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2.12

将 $14$ 移到 $e^{7 x^{2} + 3}$ 的左侧。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $14 e^{7 x^{2} + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x^{2} + 3$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

解题步骤 3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $7 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $7 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

解题步骤 3.3.4

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]))$

解题步骤 3.3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0))$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0))$

解题步骤 3.3.8

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x))$

解题步骤 3.3.9

将 $14$ 乘以 $14$ 。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $14$ 乘以 $196$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

解题步骤 3.4.2.2

将 $2$ 乘以 $196$ 。

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 392 (e^{7 x^{2} + 3} (x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

解题步骤 3.4.2.3

将 $392 e^{7 x^{2} + 3} x$ 和 $196 e^{7 x^{2} + 3} x$ 相加。

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

解题步骤 3.4.4

将 $2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$ 中的因式重新排序。

$f''' (x) = 2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $2744$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

$2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ 。

$2744 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $7 x^{2} + 3$ 。

$2744 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2744 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $7 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.4

根据加法法则， $7 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.9

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.10

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.11

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.11.1

移动 $x$ 。

$2744 (x \cdot x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.2.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2744 (x^{1} x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2744 (x^{1 + 3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.11.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2744 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.2.12

将 $14$ 移到 $e^{7 x^{2} + 3}$ 的左侧。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $588$ 对于 $x$ 是常数，所以 $588 x e^{7 x^{2} + 3}$ 对 $x$ 的导数是 $588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x^{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x^{2} + 3$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $7 x^{2} + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.4

根据加法法则， $7 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.9

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.10

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.15

将 $14$ 移到 $e^{7 x^{2} + 3}$ 的左侧。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

解题步骤 4.3.16

将 $e^{7 x^{2} + 3}$ 乘以 $1$ 。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4.4.3

合并项。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $14$ 乘以 $2744$ 。

$38416 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4.4.3.2

将 $3$ 乘以 $2744$ 。

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 (e^{7 x^{2} + 3} (x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4.4.3.3

将 $14$ 乘以 $588$ 。

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 8232 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4.4.3.4

将 $8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2}$ 和 $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ 相加。

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解题步骤 4.4.3.4.1

移动 $e^{7 x^{2} + 3}$ 。

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4.4.3.4.2

将 $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ 和 $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ 相加。

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4.4.4

重新排序项。

$38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 4.4.5

将 $38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ 中的因式重新排序。

$f^{4} (x) = 38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ 。

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

微积分学 示例

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