微积分学示例

$x {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 4$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 1.3.6

将 ${(x - 4)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

从 $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $x (3 {(x - 4)}^{2})$ 中分解出因数 ${(x - 4)}^{2}$ 。

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

从 ${(x - 4)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x - 4)}^{2}$ 。

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

解题步骤 1.4.1.3

从 ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 中分解出因数 ${(x - 4)}^{2}$ 。

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.3

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.4

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

运用分配律。

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.4.2

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.4.3

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.5.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.5.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.5.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

解题步骤 1.4.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ 。

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7

化简每一项。

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解题步骤 1.4.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.7.2.1

移动 $x$ 。

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.3

将 $- 4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.7.5.1

移动 $x$ 。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.6

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.7

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.8

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

解题步骤 1.4.7.9

将 $16$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

解题步骤 1.4.8

从 $- 4 x^{2}$ 中减去 $32 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

解题步骤 1.4.9

将 $32 x$ 和 $64 x$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 36$ 。

$12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [96 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $96$ 对于 $x$ 是常数，所以 $96 x$ 对 $x$ 的导数是 $96 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.4.3

将 $96$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} [- 64]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 64$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $12 x^{2} - 72 x + 96$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $12 x^{2} - 72 x + 96$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 72 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x - 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [96]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [96]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 72$ 乘以 $1$ 。

$24 x - 72 + \frac{d}{d x} [96]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $96$ 对于 $x$ 是常数，所以 $96$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 x - 72 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $24 x - 72$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 24 x - 72$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $24 x - 72$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ 。

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [24 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $24 x$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]$

解题步骤 4.2.3

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$24 + \frac{d}{d x} [- 72]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 72$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$24 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $24$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 24$

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