微积分学示例

$\cos (x^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

解题步骤 1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (x^{2}) x$

解题步骤 1.2.2.2

重新排序 $- 2 \sin (x^{2}) x$ 的因式。

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x \sin (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x^{2})$ 。

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 移到 $\cos (x^{2})$ 的左侧。

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $\sin (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

解题步骤 2.11.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \cos (x^{2})]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2} \cos (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x^{2})$ 。

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$- 4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- 4 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 4 (x^{2} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

移动 $x$ 。

$- 4 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 4 (x^{1} x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 (x^{1 + 2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.2.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x^{2})]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ 。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) - 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) - 2 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) - 2 (\cos (x^{2}) (2 x))$

解题步骤 3.3.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) - 4 \cos (x^{2}) x$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$- 4 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}))) - 4 (\cos (x^{2}) (2 x)) - 4 \cos (x^{2}) x$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$8 (x^{3} (\sin (x^{2}))) - 4 (\cos (x^{2}) (2 x)) - 4 \cos (x^{2}) x$

解题步骤 3.4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$8 x^{3} \sin (x^{2}) - 8 (\cos (x^{2}) (x)) - 4 \cos (x^{2}) x$

解题步骤 3.4.2.3

从 $- 8 \cos (x^{2}) x$ 中减去 $4 \cos (x^{2}) x$ 。

$8 x^{3} \sin (x^{2}) - 12 \cos (x^{2}) x$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$f''' (x) = 8 x^{3} \sin (x^{2}) - 12 x \cos (x^{2})$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $8 x^{3} \sin (x^{2}) - 12 x \cos (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$ 。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3} \sin (x^{2})]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3} \sin (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{2})]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x^{2})$ 。

$8 (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$8 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.3.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$8 (x^{3} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (x^{3} (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (x^{3} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 (x^{3} (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

移动 $x$ 。

$8 (x \cdot x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (x^{1} x^{3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (x^{1 + 3} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.6.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$8 (x^{4} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.2.7

将 $2$ 移到 $\cos (x^{2})$ 的左侧。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x \cos (x^{2})]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x \cos (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x^{2})$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2}$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 4.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 4.3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{1} x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 4.3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{1} x^{1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 4.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 4.3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 4.3.11

将 $\cos (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2}))) + 8 (\sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$8 (x^{4} (2 \cos (x^{2}))) + 8 (\sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) - 12 \cos (x^{2})$

解题步骤 4.4.3

合并项。

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解题步骤 4.4.3.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 (x^{4} (\cos (x^{2}))) + 8 (\sin (x^{2}) (3 x^{2})) - 12 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) - 12 \cos (x^{2})$

解题步骤 4.4.3.2

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$16 x^{4} \cos (x^{2}) + 24 (\sin (x^{2}) (x^{2})) - 12 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) - 12 \cos (x^{2})$

解题步骤 4.4.3.3

将 $- 2$ 乘以 $- 12$ 。

$16 x^{4} \cos (x^{2}) + 24 \sin (x^{2}) x^{2} + 24 (x^{2} (\sin (x^{2}))) - 12 \cos (x^{2})$

解题步骤 4.4.3.4

将 $24 \sin (x^{2}) x^{2}$ 和 $24 x^{2} \sin (x^{2})$ 相加。

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解题步骤 4.4.3.4.1

移动 $\sin (x^{2})$ 。

$16 x^{4} \cos (x^{2}) + 24 x^{2} \sin (x^{2}) + 24 x^{2} \sin (x^{2}) - 12 \cos (x^{2})$

解题步骤 4.4.3.4.2

将 $24 x^{2} \sin (x^{2})$ 和 $24 x^{2} \sin (x^{2})$ 相加。

$f^{4} (x) = 16 x^{4} \cos (x^{2}) + 48 x^{2} \sin (x^{2}) - 12 \cos (x^{2})$

微积分学 示例

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