微积分学示例

$\int x \ln (3 + x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (3 + x)$ ， $d v = x$ 。

$\ln (3 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (3 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (3 + x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 3} d x)$

解题步骤 4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x + 3}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

解题步骤 5

用 $x^{2}$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 3 x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$9$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x - 9$ 中的所有符号

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$
							+	$9$

解题步骤 5.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 3 + \frac{9}{x + 3} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

解题步骤 9

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

解题步骤 10

使 $u = x + 3$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = x + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $x + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

解题步骤 10.1.2

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 10.1.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 10.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 10.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 11

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$\frac{1}{2} \ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (3 + x)$ 。

$\frac{\ln (3 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

解题步骤 12.2.2

组合 $\frac{\ln (3 + x)}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

解题步骤 12.2.3

要将 $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 12.2.4

组合 $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 12.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 12.2.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 12.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 12.2.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 12.2.9

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.9.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 12.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 12.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 12.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 12.2.9.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 13

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |))}{2} + C$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

要将 $9 \ln (| x + 3 |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

解题步骤 14.2

组合 $9 \ln (| x + 3 |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

解题步骤 14.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

解题步骤 14.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2})}{2} + C$

解题步骤 14.5

运用分配律。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x) - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

解题步骤 14.6

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |))) + C$

微积分学 示例

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