微积分学示例

$\int_{1}^{e} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

解题步骤 4

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

计算 $\ln (x) x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

解题步骤 4.2

计算 $x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1)$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$1 e - \ln (1) - (e - 1)$

解题步骤 5.1.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$e - \ln (1) - (e - 1)$

解题步骤 5.1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e - 0 - (e - 1)$

解题步骤 5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e + 0 - (e - 1)$

解题步骤 5.1.5

运用分配律。

$e + 0 - e - - 1$

解题步骤 5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e + 0 - e + 1$

解题步骤 5.2

将 $e$ 和 $0$ 相加。

$e - e + 1$

解题步骤 5.3

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$0 + 1$

解题步骤 5.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

微积分学 示例

微积分学示例