微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 100}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 10 \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 10 \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $10 \sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $10 \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{10^{2} \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $100 \tan^{2} (t) + 100$ 中分解出因数 $100$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $100 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $100$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2.2

从 $100$ 中分解出因数 $100$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2.3

从 $100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)$ 中分解出因数 $100$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t) + 1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \sec^{2} (t)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

将 $100 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(10 \sec (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \sec (t))}^{2}}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.2

约去 $10 \sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $10 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $10 \sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\int \sec (t) d t$

解题步骤 3

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

解题步骤 4

使用 $\arctan (\frac{x}{10})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{10})) + \tan (\arctan (\frac{x}{10})) |) + C$

解题步骤 5

重新排序项。

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{10} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{10} x)) |) + C$

微积分学 示例

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