微积分学示例

$y \sin (x^{2}) = x \sin (y^{2})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x \sin (y^{2}))$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = y$ 且 $g (x) = \sin (x^{2})$ 。

$y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y'$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (y^{2})$ 。

$x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = y^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $\sin (y^{2})$ 乘以 $1$ 。

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2})$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y' = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$ 中的因式重新排序。

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$ 中的因式重新排序。

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y y' \cos (y^{2}) + \sin (y^{2})$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $2 x y y' \cos (y^{2})$ 。

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2})$

解题步骤 5.4

从等式两边同时减去 $2 x y \cos (x^{2})$ 。

$y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

解题步骤 5.5

从 $y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $y' \sin (x^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\sin (x^{2})) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

解题步骤 5.5.2

从 $- 2 x y y' \cos (y^{2})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

解题步骤 5.5.3

从 $y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2}))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

解题步骤 5.6

将 $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ 中的每一项除以 $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ 中的每一项都除以 $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ 。

$\frac{y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2}))}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.6.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} - \frac{2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

解题步骤 5.6.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

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