微积分学示例

$2 x y + y^{2} = x + y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x y + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 (x y' + y) + 2 y y'$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$2 x y' + 2 y y' + 2 y$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 + y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x y' + 2 y y' + 2 y = 1 + y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - y' = 1$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

解题步骤 5.3

从 $2 x y' + 2 y y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $2 x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

解题步骤 5.3.2

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 y$

解题步骤 5.3.3

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

解题步骤 5.3.4

从 $y' (2 x) + y' (2 y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

解题步骤 5.3.5

从 $y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$

解题步骤 5.4

将 $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ 中的每一项除以 $2 x + 2 y - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ 中的每一项都除以 $2 x + 2 y - 1$ 。

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $2 x + 2 y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

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