微积分学示例

$\arctan (2 x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 。

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$\frac{2}{4 x^{2} + 1}$

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