微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

合并 $2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{2 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

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