微积分学示例

$x \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $x \cos (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x)$ 和 $\cos (x)$ 相加。

$x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$- x \sin (x) + 2 \cos (x)$

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