微积分学示例

$\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 1 + \cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5

乘。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 7

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简分子。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.2.1.2

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 10.2.1.2.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.2.1.2.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.2.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.2.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

重新整理项。

$\frac{\cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.2.3

使用勾股恒等式。

$\frac{\cos (x) + 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.3

约去 $\cos (x) + 1$ 和 ${(1 + \cos (x))}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

重新排序项。

$\frac{1 + \cos (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.3.2

乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 10.3.3

约去公因数。

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解题步骤 10.3.3.1

从 ${(1 + \cos (x))}^{2}$ 中分解出因数 $1 + \cos (x)$ 。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 10.3.3.2

约去公因数。

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 1}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

解题步骤 10.3.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$

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