微积分学示例

$\frac{e^{- t}}{1 + t^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = e^{- t}$ 且 $g (t) = 1 + t^{2}$ 。

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- t$ 。

$\frac{(1 + t^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 移到 $(1 + t^{2}) e^{- t}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot ((1 + t^{2}) e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1 (1 + t^{2})$ 重写为 $- (1 + t^{2})$ 。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $1 + t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ 相加。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{(- 1 \cdot 1 - t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{- 1 \cdot 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t$ 中的因式重新排序。

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

从 $- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}$ 中分解出因数 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

从 $- e^{- t} t^{2}$ 中分解出因数 $e^{- t}$ 。

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.2

从 $- 2 e^{- t} t$ 中分解出因数 $e^{- t}$ 。

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.3

从 $- e^{- t}$ 中分解出因数 $e^{- t}$ 。

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.4

从 $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ 中分解出因数 $e^{- t}$ 。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.1.5

从 $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{- t}$ 。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

分组因式分解。

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解题步骤 4.5.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 4.5.2.1.1

从 $- 2 t$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 (t) - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.1.2

把 $- 2$ 重写为 $- 1$ 加 $- 1$

$\frac{e^{- t} (- t^{2} + (- 1 - 1) t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.1.3

运用分配律。

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 1 t - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{e^{- t} ((- t^{2} - 1 t) - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{e^{- t} (t (- t - 1) + 1 (- t - 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- t - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{e^{- t} ((- t - 1) (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{e^{- t} (- t - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3

合并指数。

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解题步骤 4.5.3.1

从 $- t$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1 (1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3.3

从 $- (t) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- t} (- (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3.4

将 $- (t + 1)$ 重写为 $- 1 (t + 1)$ 。

$\frac{e^{- t} (- 1 (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3.5

对 $t + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3.6

对 $t + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} {(t + 1)}^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.5.4

提取负因数。

$\frac{- e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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