微积分学示例

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3

乘。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.5.2

将 $2 x + x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

解题步骤 4.7

将 $x^{2} - \frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

解题步骤 5

要将 $x (2 x + x^{- 2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

解题步骤 8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

解题步骤 10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3

合并项。

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解题步骤 11.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.3.1.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3.2

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.4.1

约去公因数。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

解题步骤 11.3.4.2

重写表达式。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

解题步骤 11.3.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

解题步骤 11.3.6

将 $2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

解题步骤 11.3.7

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.7.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

解题步骤 11.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

解题步骤 11.3.7.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 11.3.7.2.3

约去公因数。

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 11.3.7.2.4

重写表达式。

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

解题步骤 11.3.7.2.5

用 $2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 2 x^{2}$

解题步骤 11.3.8

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$3 x^{2}$

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