微积分学示例

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{4}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$

解题步骤 2.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{4}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$

解题步骤 2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$

解题步骤 2.5.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{8 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- x^{- 4} (2 x))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- 2 x^{- 4} x)$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- 2 x^{1 - 4})$

解题步骤 3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x^{3} + \frac{1}{8} (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 3.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$x^{3} + \frac{- 2}{8} x^{- 3}$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{- 2}{8}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$x^{3} + \frac{- 2 x^{- 3}}{8}$

解题步骤 3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$x^{3} + \frac{- 2}{8 x^{3}}$

解题步骤 3.13

约去 $- 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 x^{3}}$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 3.13.2.1

从 $8 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 x^{3})}$

解题步骤 3.13.2.2

约去公因数。

$x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 x^{3})}$

解题步骤 3.13.2.3

重写表达式。

$x^{3} + \frac{- 1}{4 x^{3}}$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$x^{3} - \frac{1}{4 x^{3}}$

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