微积分学示例

$\log_{5} (x e^{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \log_{5} (x)$ 且 $g (x) = x e^{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\log_{5} (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u \ln (5)}$ 。

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $x e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x}) + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ 。

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)} e^{x} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{x}{x e^{x} \ln (5)}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

解题步骤 5.2.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

解题步骤 5.2.4

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

解题步骤 5.2.5

组合 $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

解题步骤 5.2.6

约去 $e^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.1

约去公因数。

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

解题步骤 5.2.6.2

重写表达式。

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x \ln (5)}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{1}{x \ln (5)} + \frac{1}{\ln (5)}$

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