微积分学示例

$[(x^{3} + x) (x^{3} - x)]$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3} + x$ 且 $g (x) = x^{3} - x$ 。

$(x^{3} + x) \frac{d}{d x} [x^{3} - x] + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$(x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1 \cdot 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $x^{3} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

解题步骤 3.1.2

从 $(x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

解题步骤 3.1.3

从 $1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$ 中分解出因数 $1$ 。

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

解题步骤 3.2

将 $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ 乘以 $1$ 。

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x)$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

运用分配律。

$3 x^{2} (x^{3} + x) - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.1.2

运用分配律。

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$3 x^{5} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$3 x^{5} + 3 (x \cdot x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{5} + 3 (x^{1} x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{5} + 3 x^{1 + 2} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 x^{5} + 3 x^{3} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $- 1 x^{3}$ 重写为 $- x^{3}$ 。

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.2.2

从 $3 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.3

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

运用分配律。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} (x^{3} - x) + 1 (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.3.2

运用分配律。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 (x^{3} - x)$

解题步骤 3.4.3.3

运用分配律。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{2} x + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.3.1

移动 $x$ 。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.5

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} + 1 (- x)$

解题步骤 3.4.4.1.6

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} - x$

解题步骤 3.4.4.2

将 $- 3 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$

解题步骤 3.5

合并 $3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} + 0 - x$

解题步骤 3.5.2

将 $3 x^{5} - x + 3 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} - x$

解题步骤 3.6

将 $3 x^{5}$ 和 $3 x^{5}$ 相加。

$6 x^{5} - x - x$

解题步骤 3.7

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$6 x^{5} - 2 x$

微积分学 示例

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