微积分学示例

$y = x (x^{2} + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$x (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x^{2} + (x^{2} + 1) \cdot 1$

解题步骤 8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{2} + x^{2} + 1$

解题步骤 8.2

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} + 1$

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