微积分学示例

$\frac{x^{2}}{e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 e^{x} x - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.2

将 $2 e^{x} x - x^{2} e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x e^{x} - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3

从 $2 e^{x} x - e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $e^{x} x$ 。

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解题步骤 4.3.1

从 $2 e^{x} x$ 中分解出因数 $e^{x} x$ 。

$\frac{e^{x} x (2) - e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3.2

从 $- e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $e^{x} x$ 。

$\frac{e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3.3

从 $e^{x} x (2) + e^{x} x (- x)$ 中分解出因数 $e^{x} x$ 。

$\frac{e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $e^{x} x (2 - x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} x (2 - x)}{1}$

解题步骤 4.4.2.4

用 $e^{- x} x (2 - x)$ 除以 $1$ 。

$e^{- x} x (2 - x)$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$e^{- x} x \cdot 2 + e^{- x} x (- x)$

解题步骤 4.6

将 $2$ 移到 $e^{- x} x$ 的左侧。

$2 \cdot (e^{- x} x) + e^{- x} x (- x)$

解题步骤 4.7

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot (e^{- x} x) - e^{- x} x \cdot x$

解题步骤 4.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.8.1

移动 $x$ 。

$2 e^{- x} x - e^{- x} (x \cdot x)$

解题步骤 4.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$

解题步骤 4.9

将 $2 e^{- x} x - e^{- x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

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