微积分学示例

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 1$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

合并 $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $2 x^{2} x$ 中减去 $2 x^{2} x$ 。

$\frac{2 \cdot - 1 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $2 \cdot - 1 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 1 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5.3

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

化简分母。

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解题步骤 3.7.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

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