微积分学示例

$\frac{3 x - 9}{2 x + 8}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 9$ 且 $g (x) = 2 x + 8$ 。

$\frac{(2 x + 8) \frac{d}{d x} [3 x - 9] - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{(2 x + 8) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(2 x + 8) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(2 x + 8) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x + 8) (3 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(2 x + 8) (3 + 0) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(2 x + 8) \cdot 3 - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $3$ 移到 $2 x + 8$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (2 x + 8) - (3 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x + 8]}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $2 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) (2 + 0)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 (2 x + 8) - (3 x - 9) \cdot 2}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (2 x + 8) - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x - 9)}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

合并 $3 (2 x) + 3 \cdot 8 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 9$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1.1

按照 $3 (2 x)$ 和 $- 2 (3 x)$ 重新排列因数。

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 8 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $2 \cdot 3 x$ 中减去 $2 \cdot 3 x$ 。

$\frac{3 \cdot 8 + 0 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $3 \cdot 8$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 \cdot 8 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$\frac{24 - 2 \cdot - 9}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{24 + 18}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $24$ 和 $18$ 相加。

$\frac{42}{{(2 x + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简分母。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 x + 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{42}{{(2 (x) + 8)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{42}{{(2 x + 2 \cdot 4)}^{2}}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $2 x + 2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{42}{{(2 (x + 4))}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

对 $2 (x + 4)$ 运用乘积法则。

$\frac{42}{2^{2} {(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{42}{4 {(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.5

约去 $42$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $42$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21)}{4 {(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $4 {(x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (21)}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 21}{2 (2 {(x + 4)}^{2})}$

解题步骤 3.5.2.3

重写表达式。

$\frac{21}{2 {(x + 4)}^{2}}$

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