微积分学示例

$\frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{e^{x}}$ 重写为 ${(e^{x})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(e^{x})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

将 ${(e^{x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [e^{- 1 \cdot x}]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$- 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$- e^{- x}$

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