微积分学示例

$\frac{1}{4 \sqrt{x + x \sqrt{x}}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}]$

解题步骤 2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}}}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1 + \frac{1}{2}}}}]$

解题步骤 2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}]$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2 + 1}{2}}}}]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}}]$

解题步骤 3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}$ 重写成 ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 3.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3.2

将 ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 3.3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 3.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 4.3

使用 $x + x^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 8.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 9.2

组合 ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (- \frac{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 9.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{4 (2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 9.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 10

根据加法法则， $x + x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 16

化简分子。

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解题步骤 16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 16.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 17

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

重新排序 $- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 的因式。

$- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.2

运用分配律。

$(- 1 \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.4

将 $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.5

化简分子。

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解题步骤 18.5.1

从 $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 18.5.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.5.1.2

从 $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.5.1.3

从 $- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.5.1.4

将 $- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 重写为 $- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ 。

$\frac{- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- (\frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 18.7

乘以 $- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

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解题步骤 18.7.1

将 $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 18.7.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{16 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

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