微积分学示例

$f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x^{2} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 重写为 ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ 。

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$- 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

解题步骤 1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

解题步骤 1.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.4

将 $16$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.3

从 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 16 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.16

组合 $- 16$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(16) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18

化简。

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解题步骤 2.18.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2

化简每一项。

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解题步骤 2.18.2.1

将 $- 3$ 乘以 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.2

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3

从 $- 48 x^{2} + 16$ 中分解出因数 $16$ 。

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解题步骤 2.18.3.1

从 $- 48 x^{2}$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3.3

从 $16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)$ 中分解出因数 $16$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.4

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.5

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.6

从 $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.7

将 $- (3 x^{2} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 1)$ 。

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.18.10

将 $\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{8}{x^{2} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ 。

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 1})$

解题步骤 4.1.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 重写为 ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f' (x) = - 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

解题步骤 4.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

解题步骤 4.1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 4.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = - 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 4.1.4.2

合并项。

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解题步骤 4.1.4.2.1

组合 $- 16$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 4.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 4.1.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4.2.4

将 $16$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$16 x = 0$

解题步骤 5.3

将 $16 x = 0$ 中的每一项除以 $16$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $16 x = 0$ 中的每一项都除以 $16$ 。

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{16}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $0$ 除以 $16$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{16 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{16 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{16 \cdot - 1}{1^{3}}$

解题步骤 9.2.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{16 \cdot - 1}{1}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 16}{1}$

解题步骤 9.3.2

用 $- 16$ 除以 $1$ 。

$- 16$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{8}{{(0)}^{2} + 1}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简分母。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{8}{0 + 1}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = \frac{8}{1}$

解题步骤 11.2.2

用 $8$ 除以 $1$ 。

$f (0) = 8$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $8$ 。

$y = 8$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$ 的局部极值。

$(0, 8)$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例