微积分学示例

$f (x) = x e^{- x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 3.5

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

解题步骤 4.2

将 $- e^{- x} x + e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

微积分学 示例

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