微积分学示例

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 4

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6

分离分数。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9

分离分数。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 11

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 12

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$1 - \tan (x) = 0$

解题步骤 13

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan (x) = - 1$

解题步骤 14

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 14.1

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 14.2

化简左边。

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解题步骤 14.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 14.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 14.3

化简右边。

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解题步骤 14.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 15

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 16

化简右边。

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解题步骤 16.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 17

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 18

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 18.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 18.2

合并分数。

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解题步骤 18.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 18.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 18.3

化简分子。

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解题步骤 18.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 18.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 19

方程 $x = \frac{π}{4}$ 的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 20

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 21

计算二阶导数。

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解题步骤 21.1

化简每一项。

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解题步骤 21.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 21.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 21.2

化简项。

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解题步骤 21.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 21.2.2

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 21.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.2.3.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 21.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 21.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 21.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 21.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 21.2.3.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$- \sqrt{2}$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 23

求 $x = \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 23.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 23.2

化简结果。

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解题步骤 23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 23.2.1.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 23.2.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 23.2.2

化简项。

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解题步骤 23.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 23.2.2.2

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 23.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.2.2.3.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 23.2.2.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

解题步骤 23.2.3

最终答案为 $\sqrt{2}$ 。

$y = \sqrt{2}$

解题步骤 24

计算在 $x = \frac{5 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 25

计算二阶导数。

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解题步骤 25.1

化简每一项。

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解题步骤 25.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 25.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 25.1.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 25.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 25.1.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 25.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 25.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 25.1.6

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 25.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 25.1.6.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 25.2

化简项。

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解题步骤 25.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 25.2.2

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 25.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 25.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 25.2.3.2

用 $\sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{2}$

解题步骤 26

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 27

求 $x = \frac{5 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 27.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 27.2

化简结果。

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解题步骤 27.2.1

化简每一项。

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解题步骤 27.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 27.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 27.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 27.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 27.2.2

化简项。

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解题步骤 27.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 27.2.2.2

从 $- \sqrt{2}$ 中减去 $\sqrt{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 27.2.2.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.2.3.1

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

解题步骤 27.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 27.2.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

解题步骤 27.2.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 27.2.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

解题步骤 27.2.2.3.2.4

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

解题步骤 27.2.3

最终答案为 $- \sqrt{2}$ 。

$y = - \sqrt{2}$

解题步骤 28

这些是 $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ 是一个局部最大值

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 29

微积分学 示例

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