微积分学示例

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

解题步骤 1

将 $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 16$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2016$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2016$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x)$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 48$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 5.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 16$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $2016$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2016$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

从 $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $12 x^{2}$ 。

$12 x^{2} (x) - 48 x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

从 $- 48 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x^{2}$ 。

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4) = 0$

解题步骤 6.2.3

从 $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4)$ 中分解出因数 $12 x^{2}$ 。

$12 x^{2} (x - 4) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 6.6

最终解为使 $12 x^{2} (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 0, 4$

解题步骤 9

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$36 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$36 \cdot 0 - 96 \cdot 0$

解题步骤 10.1.2

将 $36$ 乘以 $0$ 。

$0 - 96 \cdot 0$

解题步骤 10.1.3

将 $- 96$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 10.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 11

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 11.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 11.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} - 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 11.2.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 - 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 11.2.2.1.2

将 $12$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = - 96 - 48 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 11.2.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 96 - 48 \cdot 4$

解题步骤 11.2.2.1.4

将 $- 48$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = - 96 - 192$

解题步骤 11.2.2.2

从 $- 96$ 中减去 $192$ 。

$f' (- 2) = - 288$

解题步骤 11.2.2.3

最终答案为 $- 288$ 。

$- 288$

解题步骤 11.3

将区间 $(0, 4)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 11.3.2

化简结果。

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解题步骤 11.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 11.3.2.1.2

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 96 - 48 {(2)}^{2}$

解题步骤 11.3.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 96 - 48 \cdot 4$

解题步骤 11.3.2.1.4

将 $- 48$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 96 - 192$

解题步骤 11.3.2.2

从 $96$ 中减去 $192$ 。

$f' (2) = - 96$

解题步骤 11.3.2.3

最终答案为 $- 96$ 。

$- 96$

解题步骤 11.4

将区间 $(4, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $12 x^{3} - 48 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 11.4.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} - 48 {(6)}^{2}$

解题步骤 11.4.2

化简结果。

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解题步骤 11.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.4.2.1.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (6) = 12 \cdot 216 - 48 {(6)}^{2}$

解题步骤 11.4.2.1.2

将 $12$ 乘以 $216$ 。

$f' (6) = 2592 - 48 {(6)}^{2}$

解题步骤 11.4.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = 2592 - 48 \cdot 36$

解题步骤 11.4.2.1.4

将 $- 48$ 乘以 $36$ 。

$f' (6) = 2592 - 1728$

解题步骤 11.4.2.2

从 $2592$ 中减去 $1728$ 。

$f' (6) = 864$

解题步骤 11.4.2.3

最终答案为 $864$ 。

$864$

解题步骤 11.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 11.6

由于一阶导数在 $x = 4$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 4$ 是极小值。

$x = 4$ 是一个极小值

解题步骤 12

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