微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{16 x^{2} + x} - 4 x$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{16 x^{2} + x} - 4 x) (\sqrt{16 x^{2} + x} + 4 x)}{\sqrt{16 x^{2} + x} + 4 x}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{16 x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{16 x^{2} + x} (4 x) + \sqrt{16 x^{2} + x} (- 4 x) - 16 x^{2}}{\sqrt{16 x^{2} + x} + 4 x}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $16 x^{2}$ 中减去 $16 x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{16 x^{2} + x} + 4 x}$

解题步骤 2.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{16 x^{2} + x} + 4 x}$

解题步骤 3

从 $16 x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (16 x) + x} + 4 x}$

解题步骤 3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (16 x) + x^{1}} + 4 x}$

解题步骤 3.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (16 x) + x \cdot 1} + 4 x}$

解题步骤 3.4

从 $x (16 x) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (16 x + 1)} + 4 x}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{4 x}{x}}$

解题步骤 5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{4 x}{x}}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{4 x}{x}}$

解题步骤 5.2

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x^{2}}} + 4}$

解题步骤 6

约去公因数。

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解题步骤 6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x \cdot x}} + 4}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (16 x + 1)}{x \cdot x}} + 4}$

解题步骤 6.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{16 x + 1}{x}} + 4}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{16 x + 1}{x}} + 4}$

解题步骤 7.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{16 x + 1}{x}} + 4}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{16 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 7.4

将极限移入根号内。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{16 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 8

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 9.1.2

用 $16$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 9.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 9.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 16 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 9.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 16 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 9.5

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{16 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{16 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 11

计算极限值。

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解题步骤 11.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{16 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 4}$

解题步骤 11.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{16 + 0}{1}} + 4}$

解题步骤 11.3

化简答案。

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解题步骤 11.3.1

用 $16 + 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{16 + 0} + 4}$

解题步骤 11.3.2

化简分母。

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解题步骤 11.3.2.1

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{16} + 4}$

解题步骤 11.3.2.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{4^{2}} + 4}$

解题步骤 11.3.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{4 + 4}$

解题步骤 11.3.2.4

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{8}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{8}$

小数形式：

$0.125$

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