微积分学示例

$\int t e^{- 5 t} d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = e^{- 5 t}$ 。

$t (- \frac{1}{5} e^{- 5 t}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 t} d t$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

组合 $e^{- 5 t}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$t (- \frac{e^{- 5 t}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 t} d t$

解题步骤 2.2

组合 $t$ 和 $\frac{e^{- 5 t}}{5}$ 。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 t} d t$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{5}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 t} d t)$

解题步骤 4

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 t} d t)$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 t} d t$

解题步骤 5

使 $u = - 5 t$ 。然后使 $d u = - 5 d t$ ，以便 $- \frac{1}{5} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - 5 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 5 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- 5 t]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 5 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 5$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

解题步骤 6.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

解题步骤 9

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

解题步骤 9.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

解题步骤 11

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解题步骤 11.1

将 $- \frac{t e^{- 5 t}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{5} t e^{- 5 t} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ 。

$- \frac{1}{5} t e^{- 5 t} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

解题步骤 11.2

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解题步骤 11.2.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- \frac{t}{5} e^{- 5 t} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $e^{- 5 t}$ 和 $\frac{t}{5}$ 。

$- \frac{e^{- 5 t} t}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

解题步骤 12

使用 $- 5 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{e^{- 5 t} t}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 t} + C$

解题步骤 13

组合 $e^{- 5 t}$ 和 $\frac{1}{25}$ 。

$- \frac{e^{- 5 t} t}{5} - \frac{e^{- 5 t}}{25} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$- \frac{1}{5} e^{- 5 t} t - \frac{1}{25} e^{- 5 t} + C$

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