微积分学示例

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

解题步骤 1

将 $x^{3}$ 重写为 ${(x^{3})}^{1}$ 。

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = x^{3}$ 。然后使 $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = x^{3}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简。

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{3 - u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

解题步骤 3.3

将 $3$ 移到 $3 - u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

解题步骤 5

使 $u_{2} = 3 - u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = - d u_{1}$ ，以便 $- d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = 3 - u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 5.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 8

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

解题步骤 10

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 10.1

使用 $3 - u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

解题步骤 10.2

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$

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