微积分学示例

$\int x^{4} e^{x^{5}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = e^{x^{5}}$ 。然后使 $d u_{2} = 5 x^{4} e^{x^{5}} d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{2} = x^{4} e^{x^{5}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = e^{x^{5}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $e^{x^{5}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{5}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$e^{x^{5}} (5 x^{4})$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序 $e^{x^{5}} (5 x^{4})$ 的因式。

$5 e^{x^{5}} x^{4}$

解题步骤 1.1.4.2

将 $5 e^{x^{5}} x^{4}$ 中的因式重新排序。

$5 x^{4} e^{x^{5}}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{5} d u_{2}$

解题步骤 2

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} u_{2} + C$

解题步骤 3

使用 $e^{x^{5}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{5} e^{x^{5}} + C$

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