微积分学示例

$\int e^{5 x} (5) d x$

解题步骤 1

将 $5$ 移到 $e^{5 x}$ 的左侧。

$\int 5 e^{5 x} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int e^{5 x} d x$

解题步骤 3

使 $u = 5 x$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 5 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $5 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 4

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$\frac{5}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{5}{5} \int e^{u} d u$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$1 \int e^{u} d u$

解题步骤 6.3

将 $\int e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{u} d u$

解题步骤 7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{u} + C$

解题步骤 8

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{5 x} + C$

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