微积分学示例

$\int_{0}^{π} (6 + \sin (x)) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{π} 6 + \sin (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{π} 6 d x + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$6 x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$6 x]_{0}^{π} + - \cos (x)]_{0}^{π}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $6 x]_{0}^{π}$ 和 $- \cos (x)]_{0}^{π}$ 。

$6 x - \cos (x)]_{0}^{π}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $6 x - \cos (x)$ 在 $π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(6 π - \cos (π)) - (6 \cdot 0 - \cos (0))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$6 π - \cos (π) - (0 - \cos (0))$

解题步骤 5.2.2.2

从 $0$ 中减去 $\cos (0)$ 。

$6 π - \cos (π) - - \cos (0)$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 π - \cos (π) + 1 \cos (0)$

解题步骤 5.2.2.4

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$6 π - \cos (π) + \cos (0)$

$6 π - \cos (π) + \cos (0)$

$6 π - \cos (π) + \cos (0)$

解题步骤 5.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$6 π - \cos (π) + 1$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$6 π - - \cos (0) + 1$

解题步骤 5.4.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$6 π - (- 1 \cdot 1) + 1$

解题步骤 5.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 π - - 1 + 1$

解题步骤 5.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 π + 1 + 1$

解题步骤 5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 π + 2$

$6 π + 2$

$6 π + 2$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 π + 2$

小数形式：

$20.84955592 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$