微积分学示例

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{3}$ 。然后使 $d u = 3 x^{2} d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u$ 。

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{u}{3}$ 和 $\cos (u)$ 。

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

解题步骤 5

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ 重写为 $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ 。

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

解题步骤 7

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

解题步骤 8.2

乘以 $\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ 。

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解题步骤 8.2.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $\frac{x^{3}}{3}$ 和 $\sin (x^{3})$ 。

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

解题步骤 8.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\cos (x^{3})$ 。

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

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