微积分学示例

$\int x \sqrt{2 x + 1} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sqrt{2 x + 1}$ 。

$x (\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$x \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{3} \int {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4

使 $u = 2 x + 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

组合 $u^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2 \cdot 3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{3} x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{x}{3}$ 和 ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5 \cdot 6} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.4

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.5

约去 $2$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 (1)}{30} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.5.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9.2.6

要将 $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

解题步骤 9.2.7

组合 $- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 9.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 9.2.9

组合 $u^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot 3}{3} + C$

解题步骤 9.2.10

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

解题步骤 9.2.11

组合 $- 3$ 和 $\frac{u^{\frac{5}{2}}}{15}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

解题步骤 9.2.12

从 $- 3 u^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

解题步骤 9.2.13

约去公因数。

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解题步骤 9.2.13.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

解题步骤 9.2.13.2

约去公因数。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

解题步骤 9.2.13.3

重写表达式。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 9.2.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 9.2.15

要将 $x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 9.2.16

组合 $x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 9.2.17

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 9.2.18

将 $5$ 移到 $x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{5 \cdot (x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

解题步骤 9.2.19

将 $\frac{\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ 重写为乘积形式。

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

解题步骤 9.2.20

将 $\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

解题步骤 9.2.21

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 10

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{15} (5 x {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

微积分学 示例

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