微积分学示例

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 3.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\arctan (x) x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

解题步骤 7.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $\arctan (1)$ 乘以 $1$ 。

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3.3

将 $0$ 乘以 $\arctan (0)$ 。

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3.4

将 $\arctan (1)$ 和 $0$ 相加。

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 8.2

组合 $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 9.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

解题步骤 9.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 10

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

小数形式：

$0.43882457 \dots$

微积分学 示例

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