微积分学示例

\int_{0}^{1} \arctan (x) d x

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

解题步骤 1

利用公式

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中

u = \arctan (x)

$u = \arctan (x)$ ，

d v = 1

$d v = 1$ 。

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 2

组合

x

$x$ 和

\frac{1}{x^{2} + 1}

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 3

使

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ 。然后使

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ ，以便

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用

u

$u$ 和

d

$d$

u

$u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ 。求

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ 求导。

\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则，

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

2 x + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为

1

$1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

1

$1$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

2 x + 0

$2 x + 0$

解题步骤 3.1.5

将

2 x

$2 x$ 和

0

$0$ 相加。

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

解题步骤 3.2

将下限代入替换

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ 中的

x

$x$ 。

u_{lower} = 0^{2} + 1

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

u_{lower} = 0 + 1

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 3.3.2

将

0

$0$ 和

1

$1$ 相加。

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ 中的

x

$x$ 。

u_{upper} = 1^{2} + 1

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

一的任意次幂都为一。

u_{upper} = 1 + 1

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 3.5.2

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.6

求得的

u_{lower}

$u_{lower}$ 和

u_{upper}

$u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.7

使用

u

$u$ 、

d u

$d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ 乘以

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.2

将

2

$2$ 移到

u

$u$ 的左侧。

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 5

由于

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 对于

u

$u$ 是常数，所以将

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ 对

u

$u$ 的积分为

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ 。

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算

\arctan (x) x

$\arctan (x) x$ 在

1

$1$ 处和在

0

$0$ 处的值。

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

解题步骤 7.2

计算

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ 在

2

$2$ 处和在

1

$1$ 处的值。

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将

\arctan (1)

$\arctan (1)$ 乘以

1

$1$ 。

\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3.2

将

0

$0$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3.3

将

0

$0$ 乘以

\arctan (0)

$\arctan (0)$ 。

\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 7.3.4

将

\arctan (1)

$\arctan (1)$ 和

0

$0$ 相加。

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用对数的商数性质，即

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 8.2

组合

\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

2

$2$ 之间的距离为

2

$2$ 。

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 9.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

解题步骤 9.3

用

2

$2$ 除以

1

$1$ 。

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 10

\arctan (1)

$\arctan (1)$ 的准确值为

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ 。

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

小数形式：

0.43882457 \dots

$0.43882457 \dots$

微积分学 示例

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