微积分学示例

$\int_{0}^{2 π} t^{2} \sin (2 t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t^{2}$ ， $d v = \sin (2 t)$ 。

$t^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (2 t)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$t^{2} (- \frac{\cos (2 t)}{2})]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

解题步骤 2.2

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{\cos (2 t)}{2}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \cos (2 t) (2 t) d t$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

解题步骤 4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

解题步骤 4.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{- 1}{1} \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t)$

解题步骤 4.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - - \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + 1 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

解题步骤 4.5

将 $\int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) (t) d t$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \cos (2 t)$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t (\frac{1}{2} \sin (2 t))]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 t)$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + t \frac{\sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

解题步骤 6.2

组合 $t$ 和 $\frac{\sin (2 t)}{2}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \sin (2 t) d t$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (2 t) d t)$

解题步骤 8

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 8.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 8.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 (2 π)$

解题步骤 8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

解题步骤 8.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 9

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

解题步骤 12

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

解题步骤 13

组合 $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ 和 $\frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π}$ 。

$- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $- \frac{t^{2} \cos (2 t)}{2} + \frac{t \sin (2 t)}{2}$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

解题步骤 14.2

计算 $- \cos (u)$ 在 $4 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- \frac{{(2 π)}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2}) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3

化简。

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解题步骤 14.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{{(2 (π))}^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.2

对 $2 (π)$ 运用乘积法则。

$- \frac{2^{2} π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{4 π^{2} \cos (2 (2 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4 π^{2} \cos (4 π)}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.5.1

从 $4 π^{2} \cos (4 π)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 (1)} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 (2 π^{2} \cos (4 π))}{2 \cdot 1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{2 π^{2} \cos (4 π)}{1} + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.5.2.4

用 $2 π^{2} \cos (4 π)$ 除以 $1$ 。

$- (2 π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (π^{2} \cos (4 π)) + \frac{2 π \sin (2 (2 π))}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.8.1

约去公因数。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + \frac{2 π \sin (4 π)}{2} - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.8.2

用 $π \sin (4 π)$ 除以 $1$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0^{2} \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.10

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.11

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.12

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.12.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.12.2.2

约去公因数。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.12.2.3

重写表达式。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- \frac{0}{1} + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (- 0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (2 \cdot 0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.14

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0 \sin (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.15

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.16

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.16.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.16.2

约去公因数。

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解题步骤 14.3.16.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.16.2.2

约去公因数。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.16.2.3

重写表达式。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + \frac{0}{1}) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.16.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - (0 + 0) - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.17

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.18

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) + 0 - \frac{1}{4} ((- \cos (4 π)) + \cos (0))$

解题步骤 14.3.19

将 $- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π)$ 和 $0$ 相加。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

解题步骤 15

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 π^{2} \cos (4 π) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 π^{2} \cos (0) + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 16.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 π^{2} \cdot 1 + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 16.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 π^{2} + π \sin (4 π) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 16.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 π^{2} + π \sin (0) - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 16.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 π^{2} + π \cdot 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 16.6

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

解题步骤 16.7

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

解题步骤 16.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

解题步骤 16.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} (- 1 + 1)$

解题步骤 16.10

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 π^{2} + 0 - \frac{1}{4} \cdot 0$

解题步骤 16.11

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot 0$ 。

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解题步骤 16.11.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 π^{2} + 0 + 0 (\frac{1}{4})$

解题步骤 16.11.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- 2 π^{2} + 0 + 0$

解题步骤 16.12

将 $- 2 π^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 π^{2} + 0$

解题步骤 16.13

将 $- 2 π^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 π^{2}$

解题步骤 17

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 π^{2}$

小数形式：

$- 19.73920880 \dots$

微积分学 示例

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