微积分学示例

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (1)$

解题步骤 1.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (e)$

解题步骤 1.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} u d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{2} u^{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

解题步骤 3.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 3.2.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + 0$

解题步骤 3.2.6

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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