微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x - 1}$ 重写成 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.3

将 ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 x - 1)}^{1}}$

解题步骤 1.4

化简。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

解题步骤 1.5.2

将 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{2 x - 1}$

解题步骤 1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.6.3

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.10

化简分子。

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解题步骤 1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.11

合并分数。

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解题步骤 1.11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{2 x - 1}$

解题步骤 1.12

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.13

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.15

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{2 x - 1}$

解题步骤 1.16

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)}{2 x - 1}$

解题步骤 1.17

化简项。

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解题步骤 1.17.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x - 1}$

解题步骤 1.17.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.17.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.17.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.18

约去公因数。

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解题步骤 1.18.1

从 $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.18.2

约去公因数。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x)}{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.18.3

重写表达式。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.20

要将 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.21

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.22

通过指数相加将 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.22.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.22.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.22.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.22.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{{(2 x - 1)}^{1} - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.23

化简 ${(2 x - 1)}^{1}$ 。

$\frac{\frac{2 x - 1 - x}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.24

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$

解题步骤 1.25

将 $\frac{\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 1}$ 重写为乘积形式。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

解题步骤 1.26

将 $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x - 1}$ 。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1)}$

解题步骤 1.27

通过指数相加将 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.27.1

将 ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.27.1.1

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x - 1)}^{1}}$

解题步骤 1.27.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 1.27.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.27.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 1.27.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x - 1}{{(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将分子设为等于零。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 (1) - 1}}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{2 - 1}}$

解题步骤 3.2.1.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 3.2.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{1}$

解题步骤 3.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ 的水平切线为 $y = 1$ 。

$y = 1$

解题步骤 5

微积分学 示例

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