微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 12 x$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12]$

解题步骤 1.2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x + 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x$ 。

$6 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x = 0$

解题步骤 2.2

将 $6 x = 0$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $6 x = 0$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{6}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} - 12 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 6 (- 0.1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $6$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.6$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $- 0.6$ 。

$- 0.6$

解题步骤 5.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 6 (0.1)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $6$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = 0.6$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $0.6$ 。

$0.6$

解题步骤 6.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $0.6$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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