微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$- x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 2.3.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1, - 1$ 。

$1, - 1$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

解题步骤 5.2.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- \frac{3}{25}$ 。

$- \frac{3}{25}$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $- \frac{3}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f' (0) = \frac{1}{1}$

解题步骤 6.2.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f' (0) = 1$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $1$ 。由于其值为正，函数在 $(- 1, 1)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, 1)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

解题步骤 7.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- \frac{3}{25}$ 。

$- \frac{3}{25}$

解题步骤 7.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $- \frac{3}{25}$ 。由于其值为负，函数在 $(1, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(1, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 1, 1)$

递减于： $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例