微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{2} + 3$ 且 $g (x) = 4 x^{2} + 5$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $4$ 移到 $4 x^{2} + 5$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $4 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.12.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2.12.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.6

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2

合并 $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.2.1

从 $16 x^{3}$ 中减去 $16 x^{3}$ 。

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2.2

将 $20 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.3

从 $20 x$ 中减去 $24 x$ 。

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(4 x^{2} + 5)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 ${({(4 x^{2} + 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

将 ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(4 x^{2} + 5)}^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 4 x^{2} + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{2} + 5$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $4 x^{2} + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - x (2 (4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{{(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

从 ${(4 x^{2} + 5)}^{2} - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ 中分解出因数 $4 x^{2} + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

从 ${(4 x^{2} + 5)}^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2} + 5$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) - 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 2 x ((4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5])$ 中分解出因数 $4 x^{2} + 5$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.3

从 $(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5) + (4 x^{2} + 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]))$ 中分解出因数 $4 x^{2} + 5$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{{(4 x^{2} + 5)}^{4}}$

解题步骤 2.6

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

从 ${(4 x^{2} + 5)}^{4}$ 中分解出因数 $4 x^{2} + 5$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 4 \frac{(4 x^{2} + 5) (4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5)))}{(4 x^{2} + 5) {(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $4 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + \frac{d}{d x} (5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 2 x (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.12.2

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x \cdot x}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 (x \cdot x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{1 + 1}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 4 \frac{4 x^{2} + 5 - 16 x^{2}}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.17

从 $4 x^{2}$ 中减去 $16 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.18

组合 $- 4$ 和 $\frac{- 12 x^{2} + 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.19

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.2.1

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 4 \cdot 5}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.2.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.3

从 $- 48 x^{2} + 20$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.20.3.1

从 $- 48 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 20}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.3.2

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.3.3

从 $4 (- 12 x^{2}) + 4 (5)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 12 x^{2} + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.4

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) + 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.5

将 $5$ 重写为 $- 1 (- 5)$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2}) - 1 \cdot - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.6

从 $- (12 x^{2}) - 1 (- 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (- (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.7

将 $- (12 x^{2} - 5)$ 重写为 $- 1 (12 x^{2} - 5)$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 5))}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.20.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.20.10

将 $\frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (12 x^{2} - 5)}{{(4 x^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $2 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.6.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $4$ 移到 $4 x^{2} + 5$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.7

根据加法法则， $4 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.12.1

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.12.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

运用分配律。

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.6

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.2

合并 $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.2.1

从 $16 x^{3}$ 中减去 $16 x^{3}$ 。

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.2.2

将 $20 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.3

从 $20 x$ 中减去 $24 x$ 。

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ 。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$4 x = 0$

解题步骤 5.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 (12 {(0)}^{2} - 5)}{{(4 {(0)}^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 (12 \cdot 0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 (0 - 5)}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0^{2} + 5)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 \cdot - 5}{{(4 \cdot 0 + 5)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$\frac{4 \cdot - 5}{5^{3}}$

解题步骤 9.2.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 5}{125}$

解题步骤 9.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 20}{125}$

解题步骤 9.3.2

约去 $- 20$ 和 $125$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 4)}{125}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.2.2.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 25}$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4}{25}$

解题步骤 9.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{25}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{3}{0 + 5}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f (0) = \frac{3}{5}$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $\frac{3}{5}$ 。

$y = \frac{3}{5}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ 的局部极值。

$(0, \frac{3}{5})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例