微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

解题步骤 1.1.3.1.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $1 - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

解题步骤 1.3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.5.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \cos (x)}$

解题步骤 1.3.6

从 $0$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \cos (x)}$

解题步骤 1.4

将两个负数相除得到一个正数。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2

因为函数从左边趋于 $\infty$ 且从右边趋于 $- \infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

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