微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

化简。

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解题步骤 1.3.4.1

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4.4

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1}$

解题步骤 1.4

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \sin (2 x)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x)$

解题步骤 2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (2 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (2 \cdot 0)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\sin (0)$

解题步骤 4.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0$

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